Bir atışta 6 gelme olasılığı ?

Geçen sayıda sorduğumuz ve Olasılık Kuramının doğuşuna neden olan problemi anımsayalım. Pascal’ın yakın arkadaşı Chevalier de Méré bir kumarbazdı. Önceleri “tek zarı dört atışta bir kez 6 getiren kazanır” kuralıyla oynuyordu. Ama daha çok kazanmayı umarak, oyunu  “çift zarı 24 atışta bir düşeş getiren kazanır” kuralıyla oynamaya başlamıştı. Ancak, bir süre sonra, bu kuralın daha az kazandırdığını farketti. Nedenini matematikçi arkadaşı Pascal’a sordu. Pascal bir süre düşündükten sonra problemin matematiksel çözümünü ortaya şöyle koydu.

Bir zarı dört atışta enaz bir tane 6 getirme olasılığı nedir? Zarın altı yüzü olduğunu ve her yüzün gelme şansının aynı olduğunu düşünen Pascal, problemi tersinden aldı.

Bir atışta 6 gelme olasılığı (1/6), hiç 6 gelmeme olasılığı (5/6) dır. 6 gelme ve 6 gelmeme olasılıkları toplamı daima 1 dir : (1/5) + (5/6) = 1 .

İki atışta hiç 6 gelmeme olasılığı (5/6)(5/6) = 25/36 ; 6 gelme olasılığı 1 – 25/36 = 11/36 dır.

Üç atışta hiç 6 gelmeme olasılığı (5/6)(5/6)(5/6) = 125/216 ; 6 gelme olasılığı 1 – 125/216 = 91/216 dır.

Dört atışta hiç 6 gelmeme olasılığı (5/6)(5/6)(5/6)(5/6) = 625/1296 ; 6 gelme olasılığı 1 – 625/1296 = 671/1296 = 0,517747 dir.  

Sayıları basitleştirmek için, bu sayıyı onlu çekesinden sonra üç haneye yuvarlarsak 0,518 elde ederiz. Demek ki  Chevalier de Méré ‘in ilk kurala göre kazanma şansı 0,518 idi. Bunu %51,8 biçiminde yazabiliriz.

Şimdi ikinci kurala göre kazanma şansını hesaplayalım.  İki zarı 24 atışta en az bir kez düşeş gelme olasılığı nedir? Gene yukarıdaki gibi düşünelim. İki zarı bir arada atınca mümkün olasılıklar aşağıdaki tabloda görülmektedir. Parantez içindeki ilk sayı birinci zarın yüzünü, ikinci sayı ise ikinci zarın yüzünü göstermektedir.

(1-1), (1-2), (1-3), (1-4), (1-5), (1-6)

(2-1), (2-2), (2-3), (2-4), (2-5), (2-6)

(3-1), (3-2), (3-3), (3-4), (3-5), (3-6)

(4-1), (4-2), (4-3), (4-4), (4-5), (4-6)

(5-1), (5-2), (5-3), (5-4), (5-5), (5-6)

(6-1), (6-2), (6-3), (6-4), (6-5), (6-6)

Çift zarın bir kez atılışında 36 olasılık vardır. Düşeş (6-6) durumudur. Tablodan, bir atışta düşeş gelme olasılığının yalnızca 1/36 olduğunu, düşeş gelmeme olasılığının ise 35/36 olduğunu görebiliyoruz. Çift zarın iki kez atılışında düşeş gelmeme olasılığı (35/36)(35/36) = (35/36)² dir. Böyle devam edersek, çift zarın 24 kez atılışında düşeş gelmeme olasılığının (35/36)²⁴ = 0,508596 olduğunu buluruz. Düşeş gelme ve gelmeme olasılıkları toplamı daima 1 olduğuna göre, çift zarın 24 atılışında düşeş gelme olasılığının  1- 0,508596  = 0,491404  olduğunu buluruz. Bu da, yaklaşık olarak 0,491  eder. O halde Chevalier de Méré ‘in ikinci kurala göre kazanmaşansı %49,1 dir.

Pascal’ın yaptığı bu basit hesap,  Chevalier de Méré ‘in neden ikinci kurala göre oynayınca daha az kazandığını göstermekle kalmadı. Bu gün, neredeyse modern dünyayı yönetme aracı haline gelen Olasılık Kuramını doğurdu. Elbette, bu günkü olasılık basit zar oyunlarının çok ötesine geçmiş,  bilimde ve yönetimde vazgeçilemez bir  alet olmuştur. O olmasa, 20. yüzyılın büyük fizik buluşları olan Kuantum Fiziği,  İstatistiksel Fizik, Gazların Kinetik Teorisi var olmazdı. Bu gün dünya ekonomisini ve finans sistemini yönetmek olanaksız olurdu. Hükümetler ülkelerini yönetirken öngörüsüz kalırdı. 

   Kaynak:baskent.edu